Qual' è la probabilità che una persona si ammali di Covid? E se si ammala, qual’ è la probabilità di morire o di guarire?
Per dare una risposta a queste domande ci viene in soccorso il calcolo delle probabilità.
Il calcolo delle probabilità è nato dopo la metà del 1600 ad opera di due grandi matematici: Pascal e Fermat. Il problema allora da risolvere riguardava il gioco dei dadi e precisamente come ripartire la posta nel caso di gioco interrotto. Per questo ci fu nel 1654 un interessante scambio di lettere tra Pascal e Fermat che alla fine portò alla soluzione del problema. Successivamente, il calcolo delle probabilità continuò a svilupparsi fino ad arrivare ad una scoperta molto importante da parte di Thomas Bayes verso la metà del 1700. Si tratta del calcolo delle probabilità condizionate, cioè la probabilità che si verifichi un evento quando si conosce già una parte del problema. Ad esempio, dalle osservazioni so che l’1% della popolazione si ammala di tumore. Voglio calcolare la probabilità di ammalarmi di tumore. Il calcolo di questa probabilità può affinarsi, via via che vengo a possedere altre informazioni sul fenomeno, in modo iterativo.
Inizialmente il calcolo delle probabilità riguardava il gioco, ma successivamente ci si accorse che esso poteva essere utilmente applicato alla vita concreta nel caso, ad esempio, delle assicurazioni, ma anche in molti altri campi come la probabilità di subire un attacco terroristico o che un imputato risulti colpevole sulla base di indizi.
Coloro che hanno dato importanti contributi in questa direzione sono stati i Bernoulli, una generazione di grandi matematici svizzeri. Pensiamo ad esempio al calcolo di un vitalizio sulla base delle tavole di mortalità su cui ha dato fondamentali contributi Daniel Bernoulli. Per la verità, questo problema era già stato risolto, naturalmente in modo molto più empirico ma realistico, da parte di Ulpiano, un giurista romano intorno al 220 dopo Cristo.
I contributi di Daniel Bernoulli sono stati molto importanti perché hanno introdotto i concetti di aspettativa e di utilità, prima ancora che essi si diffondessero nell’analisi economica, soprattutto nella teoria economica marginalista con l’applicazione del calcolo infinitesimale.
Gli studi riguardanti l’applicazione della teoria delle probabilità ai problemi concreti ha continuato a svilupparsi, come ad esempio nelle operazioni di borsa. Si ricorda a questo riguardo la formula di Black-Scholes sui derivati, basata sulle equazioni differenziali stocastiche. La formula si basa sull’ipotesi di variazioni sufficientemente ampie e continue delle quotazioni di borsa. Naturalmente queste applicazioni implicano l’avverarsi di quello che diceva Keynes riguardo agli speculatori, cioè di coloro che hanno una conoscenza degli eventi futuri migliore di quella scontata dal mercato. In questo modo ci sono quelli che vincono e quelli che perdono operando in borsa. Ma se tutti prevedono gli stessi movimenti in borsa perché impiegano gli stessi strumenti matematico-stocastici, che cosa succede? Le bolle speculative e le crisi finanziarie.
In definitiva, vale quello che afferma Keith Devlin nelle conclusioni del suo bellissimo libro sulla lettera di Pascal (Rizzoli, 2008): “Al pari degli altri strumenti matematici, anche la formula di Black-Scholes non elimina l’incertezza ma, semplicemente, ci aiuta a valutare i rischi”.
Dopo questa premessa, affrontiamo il tema di questa scheda, cioè l’utilizzo del calcolo delle probabilità per valutare i rischi del contagio da covid e della mortalità o guarigione.
Partiamo dai dati, a livello mondiale, europeo ed italiano.
Secondo l’Organizzazione Mondiale della Sanità (OMS), i dati dei contagi e dei morti per covid ai primi di giugno 2021 indicano tassi di mortalità (rapporto tra morti e contagiati) del 2,3% nel mondo, del 2,1% in Europa e del 3% in Italia. Si tratta quindi di tassi incomparabilmente inferiori a quelli per la peste descritta da Boccaccio nel 1200, a quelli per la peste del 1600 raccontata dal Manzoni nei Promessi sposi, a quelli relativi alla spagnola dei nostri anni cinquanta.
Se usiamo il concetto di probabilità frequentista, possiamo dire che la probabilità media che un italiano affetto da covid ha di morire è del 3%. Otteniamo una percentuale diversa se usiamo la formula di Bayes, partendo dal fatto che sappiamo che dalle nostre osservazioni 3 italiani su 100 affetti da covid muoiono. Dobbiamo ragionare sul 97% che non sarebbe affetto da covid. Se questa percentuale è totalmente vera (0,97 x1), allora, secondo la formula di Bayes, la probabilità di morire, se si è affetti da covid, è del 3%. Ma se è vera nel 90% dei casi, allora la formula di Bayes ci fornisce il seguente risultato:
0,03/0,03+(1-0,97)*0,90 = 0,033 = 3,3%
Naturalmente, questa percentuale varia nella misura in cui vengo a conoscenza di altre informazioni sul fenomeno, affinando in modo iterativo la mia stima della probabilità che un italiano affetto da covid muoia.
Terminiamo la scheda presentando la tecnica dell’analisi logit (funzione logistica) per valutare la probabilità che una persona affetta da covid possa morire o guarire. Naturalmente, se non ho alcuna informazione, attribuirò la stessa probabilità che una persona affetta da covid possa morire o guarire: 50%. Si tratta della probabilità a priori che ho di indovinare testa o croce quando lancio una moneta.
Le cose cambiano se ho delle informazioni riguardanti, ad esempio, il reddito pro capite di quella persona, nell’ipotesi che chi ha un reddito superiore sia più istruito, si curi meglio e conduca uno stile di vita migliore. La probabilità di guarire dovrebbe quindi aumentare al crescere del reddito pro capite.
Consideriamo i Paesi che stanno in cima e in fondo alla scala mondiale del reddito pro capite: Liechtenstein con 139100 dollari; Repubblica Centroafricana con 700 dollari. Consideriamo anche l’Italia che presenta un reddito pro capite di 38200 dollari.
Possiamo ora calcolare con la funzione logistica la probabilità che un abitante del Liechtenstein (L), della Repubblica Centroafricana (RCA) e dell’Italia (IT) affetto da covid possa guarire.
Indichiamo in generale con P(G) la probabilità che un soggetto affetto da covid possa guarire. Possiamo pertanto scrivere:
P(G) = 1/1+ e^-x
Dove x rappresenta l’informazione riguardante il reddito pro capite diviso per 10000.
Calcoliamo prima la probabilità di un abitante del Liechtenstein affetto da covid di guarire:
PL (G) = 1/1+e^-13,91 = 0,99 =99%
La probabilità che ha invece un abitante della Repubblica Centroafricana affetto da Covid di guarire è la seguente:
PRCA(G) = 1/1+e^-0,07 = 0,52 = 52%
E infine un abitante dell’Italia:
PIT(G) = 1/1+e^-3,82 = 0,98 = 98%
In definitiva, un ammalato di covid della Repubblica Centroafricana ha quasi il 50% in meno di probabilità di guarire rispetto ad un ammalato del Liechtenstein.
Giovanni Scanagatta
Roma, 5 giugno 2021